Точки перелома функции

Точек перелома графика функции

График функции y = x3 с точкой перегиба (0, 0), также являющейся седловой точкой.

Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

Определения[править | править код]

Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной[1][2]. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак.
Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую[1].

Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция при при , которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная[3]. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).

Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулю[4].
Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления[1].

Дифференцируемая функция имеет точку перегиба (x, f(x)) тогда и только тогда, когда её первая производная, f′, имеет изолированный экстремум в точке x (это не то же самое, что f имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки x имеется одна и только одна точка, в которой f′ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции f′ изолированы, то точка перегиба — это точка на графике f, в которой касательная пересекает кривую[5][6].

Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего[1].

Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.

Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух[7].

Свойства[править | править код]

Точка перегиба однозначно характеризуется двумя свойствами:

Если кривая задана как график дифференцируемой функции , точка перегиба является точкой экстремума для .

Необходимое и достаточное условия[править | править код]

График функции f(x) = sin(2x) от −π/4 до 5π/4. Заметьте, вторая производная функции f равна f″(x) = −4sin(2x). Касательная отражена синим цветом, где кривая выпукла (выше касательной), зелёным, где кривая вогнута (под касательной), и красным цветом в точках перегиба 0, π/2 и π

Если x является точкой перегиба для f, то вторая производная, f″(x), равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления [8]. В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба.

Определение предполагает, что f имеет ненулевую производную более высокого порядка по x, которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак f′(x) постоянен по обеим сторонам от x в окрестности точки x.

Достаточное условие точки перегиба:

1) Достаточным условием точки перегиба является:

Если f(x) k раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x, где k нечётно и k ≥ 3, f(n)(x0)=0 для n = 2,…,k — 1 и f(k)(x0) ≠ 0, то x0 является точкой перегиба f(x).

2) Другое достаточное условие требует, чтобы и имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная[2].

Классификация точек перегиба[править | править код]

Точки перегиба можно классифицировать согласно производной f′(x).

если f′(x) равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба
если f′(x) не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба

y = x4 — x имеет вторую производную в точке (0,0), но она не является точкой перегиба, поскольку четвёртая производная является первым ненулевым порядком производной (третья производная равна нулю).

Примером седловой точки является точка (0,0) графика y = x3. Касательной служит ось x и она разделяет график в этой точке.

Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции y = x3, если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю.

Функции с разрывами[править | править код]

Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию 2x2/(x2 — 1). Она выпукла при |x| > 1 и вогнута при |x| Источник

Методика построения графиков некоторых функций.

Бирагова Л.Л. МБОУ лицей г.Владикавказ

Материал, связанный с построением графиков элементарных функций, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины, представляет для использования при изучении различных курсов математики повышенного уровня, а также на факультативах и кружковых занятиях. И поэтому разработка методики его изучения достаточна актуальна. Я хочу рассмотреть одну из возможных последовательностей изучения данных вопросов на факультативных занятиях со школьниками, проявляющими интерес к математике.

Для полноты изложения остановимся и на самых простейших случаях, приведя в каждом из них последовательность действий, которую должны осуществить учащиеся для построения того или иного графика.

1.Построение графика функции .

Прежде всего, вспомним определение модуля:

Чтобы построить график функции надо сначала построить график функции , а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.

2.Построение графика функции .

Заметим, что так как , то функция чётная и для построения её графика следует удалить точки графика функции находящиеся слева от оси , а все точки, лежащие на оси и справа от неё, отобразить симметрично относительно оси .

3.Построение графика функции .

Последовательность действий учащегося в этом случае представим следующим образом:

1) построить график функции , для ;

2) отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси

3) участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально

отразить относительно этой оси.

Отметим, что данный график и ему подобные графики можно построить и другими способами.

Этот способ основан на свойстве чётности функции, что позволяет построить её график при , а затем зеркально отобразить его относительно оси .

Рассмотрим этапы построения графика.

4.Построение графика «функции» , при .

По определению абсолютной величины где . Строго говоря, у нельзя назвать функцией х, так как каждому значению аргумента х будет соответствовать два значения «функции»: и . Поэтому далее в аналогичных случаях будем брать слово «функция» в кавычки.

Рассмотрим последовательность действий учащегося, которому необходимо построить график функции такого типа:

Читайте также: Книга грековой перелом

1) установить, для каких х выполнено условие ;

2) на найденных промежутках значений х построить график функции

3)осуществить зеркальное отражение графика относительно оси .

5.Построение графиков «функции» .

Очевидно, что . Значит график «функции» будет симметричен относительно оси абсцисс. Соответствующая последовательность действий учащегося:

1) построить график функции ,

2)осуществить его зеркальное отображение относительно оси .

Для лучшего закрепления построения данного типа графиков последнее задание можно усложнить: построить график «функции» . Тогда к тому, что только что было изображено, необходимо добавить зеркальное отображение относительно оси .

6.Построение графиков функций вида:

Этот случай рассмотрим на частных примерах.

Укажем последовательность действий учащегося:

1) Найти абсциссы точек «перелома» графика функции. В данном случае:

2) Рассмотрим далее функцию на каждом из полученных промежутков.

В рассмотренном примере их три: ; ; .

а) . Так как оба слагаемых неотрицательны, то на этом промежутке

графиком функции будет прямая, выражаемая уравнением .

б) . Первое слагаемое на данном промежутке неотрицательно, второе отрицательно и поэтому графиком будет прямая .

в) . Оба слагаемых отрицательны и поэтому графиком будет прямая .

Аналогично можно построить и график функции .

1) Найдём абсциссы точек «перелома» графика функции:

2) Рассмотрим функцию на каждом из полученных промежутков. Их шесть:

Рассуждения те же, что и в примере 7.

7.Построение графиков функции вида .

Построить график этой функции можно аналогично тому, как это было сделано в предыдущем случае, т.е. найти точки «перелома» функции, а затем провести ряд тождественных преобразований на каждом из промежутков, ограниченных точками «перелома». Однако целесообразнее в данном случае использовать способ, связанный с геометрическим преобразованием графиков функции.

Для учащихся, проявляющих повышенный интерес к предмету, для будущих участников математических олимпиад представит интерес следующий тип задач.

8. Построение графиков функций аналитические выражения, которыесодержат знак модуля, выраженных неявно.

По определению абсолютной величины . График этой «функции» можно построить различными способами. Воспользуемся одним из них:

а далее придерживаемся последовательности действий, приведенной в пункте 4.

Существует и другой способ построения графика. Воспользуемся тем, что график данной «функции» симметричен как относительно оси , так и относительно оси , построим его лишь для первой координатной четверти, а затем посредством двух зеркальных отражений получим окончательный график.

Поступая аналогично предыдущему случаю, получаем:

Так как график «функции» симметричен относительно двух осей, построим его сначала для первой координатной четверти, т.е. при , , при этом уравнение « функции» примет вид:

Мы видим, что второму уравнению удовлетворяет лишь одна пара значений , . (сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если оба они равны нулю).

Остаётся рассмотреть первое уравнение:

а) при и тогда ; . б) при , и тогда ; .

Строим графики полученных прямых в первой четверти.

9. Построение графиков тригонометрических функций,

Учитывая, что ; запишем данную функцию так:

а) если и , то функция принимает вид

В дальнейшей работе отправной точкой послужат графики функций и , построенные в одной прямоугольной системе координат.

Графики этих функций строятся тонкими, чуть заметными линиями, поскольку они играют лишь вспомогательную роль.

а) из рисунка видно, на каких промежутках оси абсцисс функции ,

одновременно принимают неотрицательные значения. Их

графики расположены в верхней полуплоскости. Строим на этих

фиксированных промежутках график функции основной

б) на рисунке легко просматриваются на оси промежутки, где

одновременно и . На этих промежутках графики функций

расположены соответственно в верхней и нижней полуплоскости

системы координат. Исходная функция в этом случае имеет вид у=0. Строим на этих промежутках её график.

В пунктах в) и г) рассуждения аналогичные предыдущим. В результате вырисовывается график данной функции.

Функция чётная, так как , поэтому график можно строить правой (левой) полуплоскости, а затем выполнить симметрию относительно оси .

Пусть , тогда функция принимает вид . В точках , где функция теряет смысл.

Раскроем модуль: а) если , то или ;

Изобразим на указанном промежутке тонкой линией графики функции и .

Фиксируем на оси абсцисс отрезки, на которых (косинусоида расположена в верхней полуплоскости). На этих фиксируемых промежутках выделяем основной линией «куски» синусоиды.

Выделяем промежутки оси , на которых (косинусоида расположена в нижней полуплоскости). И на этих промежутках изображаем график функции .

При всём этом не забываем о том, что в точках функция теряет смысл. Теперь строим график функции во всей области определения, выполняя симметрию относительно оси .

Предчувствие вам подсказывает, что самые красивые (и, конечно же, сложные) фигуры графического анализа мы оставили напоследок? В общем-то, это верно. Но для того, чтоб понять всю красоту этих фигур, вам придется припомнить все, чему вы научились из предыдущих разделов этой главы.

Посмотрите на график цен с выраженным восходящим трендом на рис. 2.6.1, и обратите внимание на область, выделенную прямоугольником.

День перелома (key reversal day) на вершине графика представляется столбиком — новым явно выраженным максимумом. Закрытие этого столбика лежит ниже предыдущей цены закрытия, а часто — даже ниже минимума предыдущего дня. То есть столбик дня перелома полностью перекрывает столбик предыдущего дня — это его характерная особенность.

День перелома говорит аналитику вот что: восходящая тенденция набрала хороший разгон, а в последнее время даже ускорилась. Цены растут, а спрос — все тот же.

То есть, возможно, тенденция уже истощилась, и наметившееся обратное движение — это начало нового тренда, нисходящего. А если при этом еще и объем торговли в день перелома значительно увеличился, это служит только подтверждением такой динамики.

День перелома на убывающем тренде представляет собой аналогичную картину, разве что с противоположными направлениями движений. Рынок после энергичного движения вниз резко разворачивается наверх без формирования уровня поддержки, на протяжении одного столбика. Этот столбик дает выраженный минимум, но закрывается выше закрытия предыдущего дня, а объем торгов в этот день заметно возрастает.

Отметим, что все эти рассуждения относятся к графикам разных временных масштабов, а не только дневным. Хотя частота появления дней перелома и их значимость сильно меняются при переходе между временными масштабами. Здесь для удобства мы будем использовать дневные графики.

Близкой по смыслу к дню перелома является составленная из нескольких столбиков конфигурация, называемая У-формация (V-spike) (рис. 2.6.2). Эта конфигурация часто наблюдается у рынка, уже движущегося в определенном направлении и прошедшего основные уровни консолидации (поддержки или сопротивления), то есть оказавшегося без ближайших ориентиров. В этой ситуации возможны энергичные движения графика (типичным является сочетание V-spike с разрывами), но немедленно механизм саморегуляции рынка возвращает его в более реальное состояние.

Столбики с характерной экстремальной конфигурацией весьма часто встречаются на графиках, но далеко не каждый из них является днем перелома. «Повышение» такого столбика в ранге до дня перелома происходит достаточно долго, пока не определится обратное движение рынка.

Поэтому, с одной стороны, V-spike дает сигнал для принятия решения, но с другой стороны, этот сигнал очень трудно вовремя распознать. Чтобы в полной мере насладиться возможностями, которые дает V-spike, трейдеру необходима дополнительная информация (например, данные фундаментального анализа — покупайте и читайте следующую книгу Академии биржевой торговли!).

Третий тип конфигураций, аналогичный по смыслу дню перелома и V-spike, называется «двухдневный перелом». Например, на восходящем тренде цены резко растут в течение дня и остаются на максимальном уровне. Следующий же день, начинаясь на этом уровне, закрывается ниже (или на уровне) минимальной цены предыдущего дня. То есть перелом как бы «растягивается» на 2 дня.

Как и в случае одного дня перелома, двухдневный перелом не дает полной уверенности в переломе тренда. Но если другие данные тоже подтверждают эту тенденцию, то аналитик получает сигнал о возможном изменении тенденции рынка. Общим правилом является то, что сила этого сигнала тем больше, чем шире перекрываемый в день перелома диапазон цен, и чем больше возрастает при этом объем торговли.

Сочетание дней перелома с разрывами дает еще один интересный тип конфигураций разворота тренда — островные переломы (island reversals). На графике (рис. 2.6.4) островной перелом в основании образован разрывом прорыва в нисходящем направлении после чего состоялось формирование конфигурации типа inverse H&S (перевернутая «Голова и плечи»), которое завершилось в правом плече также разрывом прорыва.

Итак, можно облегченно вздохнуть — мы закончили рассматривать основные структуры графического анализа. Вы уже знаете, как они выглядят и каким событиям на валютном рынке соответствуют.

Но, чтобы из этих структур получить еще больше полезной информации, нужно изучать их не сами по себе, а вместе с другими показателями. Сам по себе ни день перелома, ни отдельный разрыв на графике не дает достаточно уверенно распознаваемого сигнала. Но они могут быть очень полезны аналитику в совокупности с другими особенностями графика. Как именно? Скоро узнаете: этому как раз и посвящен следующий раздел.

Источник статьи: https://m-star68.ru/tochek-pereloma-grafika-funkcii/

Источник

Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры

Определения и классификация точек разрыва функции

Определение точки разрыва функции
Конечная точка x называется точкой разрыва функции f ( x ) , если функция определена на некоторой проколотой окрестности точки x , но не является непрерывной в этой точке.

То есть, в точке разрыва, функция либо не определена, либо определена, но хотя бы один односторонний предел в этой точке или не существует, или не равен значению f ( x ) функции в точке x . См. «Определение непрерывности функции в точке».

Определение точки разрыва 1-го рода
Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.

Определение скачка функции
Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.

Определение точки устранимого разрыва
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва первого рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Исследование функций на непрерывность

При исследовании функций на непрерывность мы используем следующие факты.

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. К ним относятся следующие функции:
, а также постоянная и обратные к ним функции. См. «Справочник по элементарным функциям».
Сумма, разность и произведение непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве.
Частное двух непрерывных, на некотором множестве функций, является непрерывной, функцией на этом множестве, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. См. «Арифметические свойства непрерывных функций»
Сложная функция непрерывна в точке , если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . См. «Предел и непрерывность сложной функции»

Примеры

Пример 1

Задана функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа, установить вид разрыва; 3) сделать схематический чертеж.
.

Заданная функция является сложной. Ее можно рассматривать как композицию двух функций:
, . Тогда
.

Рассмотрим функцию . Она составлена из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и деления. Функция является элементарной – степенной функцией с показателем степени 1 . Она определена и непрерывна для всех значений переменной . Поэтому функция определена и непрерывна для всех , кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем уравнение:
.
Получаем единственный корень .
Итак, функция определена и непрерывна для всех , кроме точки .

Рассмотрим функцию . Это показательная функция с положительным основанием степени. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .
Поэтому заданная функция определена и непрерывна для всех значений переменной , кроме точки .

Таким образом, в точке , заданная функция является непрерывной.

Рассмотрим точку . В этой точке функция не определена. Поэтому она не является непрерывной. Установим род разрыва. Для этого находим односторонние пределы.

Здесь мы использовали следующие общепринятые обозначения:
.
Также мы использовали свойство показательной функции с основанием :
.

Аналогично, для предела справа имеем:
при ,
,
,
.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, то в точке разрыв второго рода.

В точке функция непрерывна.
В точке разрыв второго рода,
.

Пример 2

Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Указать род разрыва и скачек функции, если есть. Сделать чертеж.
.

Функция является степенной функцией с целым показателем степени, равным 1 . Такую функцию также называют линейной. Она определена и непрерывна для всех значений переменной .

В входят еще две функции: и . Они составлены из функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения и умножения:
, .
Поэтому они также непрерывны для всех .

Поскольку функции, входящие в состав непрерывны для всех , то может иметь точки разрыва только в точках склейки ее составляющих. Это точки и . Исследуем на непрерывность в этих точках. Для этого найдем односторонние пределы.

Рассмотрим точку . Чтобы найти левый предел функции в этой точке, мы должны использовать значения этой функции в любой левой проколотой окрестности точки . Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел слева:
.
Здесь мы использовали тот факт, что функция является непрерывной в точке (как и в любой другой точке). Поэтому ее левый (как и правый) предел равен значению функции в этой точке.

Найдем правый предел в точке . Для этого мы должны использовать значения функции в любой правой проколотой окрестности этой точки. Возьмем окрестность . На ней . Тогда предел справа:
.
Здесь мы также воспользовались непрерывностью функции .

Поскольку, в точке , предел слева не равен пределу справа, то в ней функция не является непрерывной – это точка разрыва. Поскольку односторонние пределы конечны, то это точка разрыва первого рода. Скачек функции:
.

Теперь рассмотрим точку . Тем же способом вычисляем односторонние пределы:
;
.
Поскольку функция определена в точке и левый предел равен правому, то функция непрерывна в этой точке.

Функция имеет разрыв первого рода в точке . Скачек функции в ней: . В остальных точках функция непрерывна.

Пример 3

Определить точки разрыва функции и исследовать характер этих точек, если
.

Воспользуемся тем, что линейная функция определена и непрерывна для всех . Заданная функция составлена из линейной функции и постоянных с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления:
.
Поэтому она определена и непрерывна для всех , за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Найдем эти точки. Приравниваем знаменатель к нулю и решаем квадратное уравнение:
;
;
; .
Тогда
.

Используем формулу:
.
С ее помощью, разложим числитель на множители:
.

Тогда заданная функция примет вид:
(П1) .
Она определена и непрерывна для всех , кроме точек и . Поэтому точки и являются точками разрыва функции.

Разделим числитель и знаменатель дроби в (П1) на :
(П2) .
Такую операцию мы можем проделать, если . Таким образом,
при .
То есть функции и отличаются только в одной точке: определена при , а в этой точке не определена.

Чтобы определить род точек разрыва, нам нужно найти односторонние пределы функции в точках и . Для их вычисления мы воспользуемся тем, что если значения функции изменить, или сделать неопределенными в конечном числе точек, то это не окажет ни какого влияние на величину или существование предела в произвольной точке (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). То есть пределы функции в любых точках равны пределам функции .

Рассмотрим точку . Знаменатель дроби в функции , при в нуль не обращается. Поэтому она определена и непрерывна при . Отсюда следует, что существует предел при и он равен значению функции в этой точке:
.
Поэтому точка является точкой устранимого разрыва первого рода.

Рассмотрим точку . Используя связь бесконечно малых и бесконечно больших функций, имеем:
;
.
Поскольку пределы бесконечные, то в этой точке разрыв второго рода.

Функция имеет точку устранимого разрыва первого рода при , и точку разрыва второго рода при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-09-2018

Источник статьи: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/nepreryvnost-funktsii/tochki-razryva/

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

Содержание:

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Функция f ( x ) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) = f ( x 0 )

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Дана функция f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · ( х n 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

— 2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f ( — 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; — 0 . 958 ; — 1 . 489 ; — 1 . 747 ; — 1 . 874 ; . . . ; — 1 . 998 ; . . . → — 2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к — 2 , значит lim x → 2 — 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 ( х n > 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность функций:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = — 7 . 333 ; — 5 . 333 ; — 3 . 833 ; — 2 . 958 ; — 2 . 489 ; — 2 . 247 ; — 2 . 247 ; — 2 . 124 ; . . . ; — 2 . 001 ; . . . → — 2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к — 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f ( x ) = 1 6 x — 8 2 — 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

lim x → 2 — 0 f ( x ) = lim x → 2 + 0 f ( x ) = f ( 2 ) = 1 6 ( 2 — 8 ) 2 — 8 = — 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Ответ: Непрерывность функции f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 )

Задана функция f ( x ) = x 2 — 25 x — 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Сначала обозначим область определения функции: D ( f ( x ) ) ⇔ D x 2 — 25 x — 5 ⇔ x — 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ ( — ∞ ; 5 ) ∪ ( 5 ; + ∞ )

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x 2 — 25 x — 5 упростим: x 2 — 25 x — 5 = ( x — 5 ) ( x + 5 ) x — 5 = x + 5 .

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g ( x ) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:

lim x → 5 — 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) ≠ lim x → x 0 + 0 f ( x ) . Точка х 0 здесь – точка скачка функции.

Задана кусочно-непрерывная функция f ( x ) = x + 4 , x — 1 , x 2 + 2 , — 1 ≤ x 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = — 1 или в точке х 0 = 1 .

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

слева от точки х 0 = — 1 заданная функция есть f ( x ) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 — 0 ( x + 4 ) = — 1 + 4 = 3 ;
непосредственно в точке х 0 = — 1 функция принимает вид: f ( x ) = x 2 + 2 , тогда: f ( — 1 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 ;
на промежутке ( — 1 ; 1 ) заданная функция есть: f ( x ) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → — 1 + 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 ( x 2 + 2 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 lim x → 1 — 0 f ( x ) = lim x → 1 — 0 ( x 2 + 2 ) = ( 1 ) 2 + 2 = 3
в точке х 0 = — 1 функция имеет вид: f ( x ) = 2 x и f ( 1 ) = 2 · 1 = 2 .
справа от точки х 0 заданная функция есть f ( x ) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f ( x ) = lim x → 1 + 0 ( 2 x ) = 2 · 1 = 2

Ответ: в конечном счете мы получили:

lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 f ( x ) = f ( — 1 ) = 3 — это означает, что в точке х 0 = — 1 заданная кусочная функция непрерывна;
lim x → — 1 — 0 f ( x ) = 3 , lim x → 1 + 0 f ( x ) = 2 — таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 — 0 f ( x ) или справа lim x → x 0 + 0 f ( x ) не существует или бесконечен.

Задана функция f ( x ) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Запишем область определения функции: x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) .

Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

— 8 ; — 4 ; — 2 ; — 1 ; — 1 2 ; — 1 4 ; . . . ; — 1 1024 ; . . .

Ей соответствует последовательность значений функции:

f ( — 8 ) ; f ( — 4 ) ; f ( — 2 ) ; f ( — 1 ) ; f — 1 2 ; f — 1 4 ; . . . ; f — 1 1024 ; . . . = = — 1 8 ; — 1 4 ; — 1 2 ; — 1 ; — 2 ; — 4 ; . . . ; — 1024 ; . . .

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 — 0 f ( x ) = lim x → 0 — 0 1 x = — ∞ .

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:

f ( 8 ) ; f ( 4 ) ; f ( 2 ) ; f ( 1 ) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .

Эта последовательность — бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f ( x ) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .

Ответ: точка х 0 = 0 — точка разрыва функции второго рода.

Источник статьи: https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/nepreryvnost-funktsii-v-tochke/

Источник